PARADOKSLAR

[melleseferi]

PARADOKSLAR

"Ünlü paıadokslar, on yıllar bazen de yüzyıllar boyunca mantıksal düşünceyi beslemiştir."       (Nicolas Bourbaki)

Paradokslar, kendi içlerindeki çelişkiyle mantığa aykırı düşen yapılardır. Paradokslarda karşılaşılan sonuçlar, sonuçtan daha çok bir kısır döngü biçimindedir: Bir yerden başlarsınız ve daha sonuna varmadan başlangıç noktasına geri dönersiniz. Döngüsel çelişkiler ya sizin sonuca varmanızı engeller ya da çelişkili sonuçlarla mantığınızı altüst eder. Paradokslarda doğru ya da yanlış yoktur. Kesin bir yargıya ulaşmak mümkün değildir. Her zaman dönüp dolaşıp aynı yere varırsınız.

Paradokslara matematikten günlük yaşama kadar her alanda rastlanır. Kimi zaman kendiliğinden oluşan paradokslar olduğu gibi matematikçilerin ve ünlü düşünürlerin yarattığı dünyaca ünlü paradokslar da vardır: Bu tip paradokslar matematikte yeni buluşlara yol açarken, soyut düşünceyi de beslemiştir. Bilinen bazı basit. paradoksları incelemeye çalışalım:

1- "Bu açıklamayı yok sayın". Bu anonim paradoks, cümleyi okumaya başladığımız andan itibaren bizi çelişkiye götürür. Bu paradoks, kendi içeriğiyle çelişen, basit bir kısır döngü yaratır.

2- "O Giritliydi ve şöyle söyledi: Bütün Giritliler yalancıdır." Bu da tarihe geçmiş dünyaca ünlü yalancı paradoksudur. Bu paradoks, sonucuna asla ulaşamayacağımız bir kısır döngü yaratır.

Sonuçla sizin aranızda her zaman belirli bir mesafe vardır. Giritlinin yalancı olup olmadığı arasındaki döngüsel çelişki sürer gider. Dünyaca ünlü matematiksel olan ve olmayan birçok paradoks daha vardır. Şimdi sorunumuzu bu mantıksal çerçevede inceleyelim.

"Yılın ilk ve en büyük kampanyası!". Bu cümledeki ilk ve en büyük sözcükleri çelişki yaratmaktadır. İlk bakışta bu cümle kendi içerisinde çelişen, yani paradoksal bir yapı içeriyormuş izlenimi veriyor (Eğer kampanyamız ilk ise, en büyük olduğu saçma olabilir). Fakat karşılaştırılacak başka kampanyalar olmaması nedeniyle en büyük olduğu da kabul edilebilir. Cümledeki hatayı kesin ve kolayca bulduk. Cümledeki en büyük sözcüğü gereksiz kullanılmıştır.

Daha önceki iki paradoks örneği dikkatlice incelenirse, paradokslarda gözle görülebilir bir hata bulunamaz. Onlar aynı anda hem doğru, hem de yanlış olan şeylerdir. Paradokslar kesin ve net bir yargı içermezler. Bir bütün halinde çelişki yaratırlar. Çelişkiyi ortadan kaldırmaya çalıştığımızda cümlenin tamamı yok edilir. Çelişki cümleden kolayca çekilip çıkartılamaz.

Bu cümlede, ilk kampanya olması nedeniyle karşılaştırma yapmak gereksizdir. Sonuçta bu cümlede sadece bir anlatım bozukluğu olarak nitelendirebileceğimiz bir dilbilgisi hatası vardır.

Timsah Paradoksu

Timsahın dilemması

Timsahın biri Nil kenarında çamaşır yıkmakta olan bir kadının bir anlık gafletinden yararlanarak onun çocuğunu yakaladı. Kadın çocuğunu geri vermesi için timsaha yalvardı. Timsah, "çocuğuna ne yapacağımı doğru olarak tahmin edersen, onu sana veririm, aksi halde onu yerim," dedi.

Kadın, "Ay! Yavrumu yiyeceksin," diye bir çığlık attı.

Timsah, "pekala," dedi, "artık onu sana veremem, çünkü böyle yaparsam sen yanlış tahminde bulunmuş olursun. Halbuki sana yanlış tahminde bulunursan onu yiyeceğimi söylemiştim."

"Tam tersine," dedi kadın, "yavrumu yiyemezsin, çünkü onu yersen doğru tahminde bulunmuş olurum ve doğru tahminde bulunduğumda onu bana vereceğini söylemiştin."

(Benzer bir paradoks da şöyledir: Kral adama, "bana bir şey söyle, doğru çıkarsa seni astıracağım, yanlış çıkarsa senin boynunu vurduracağım." Adam, "benim boynumu vurduracaksın," dedi.)

Kralın Paradoksu

Kralın dilemması

Kral ülkenin yalancıları arasında bir yarışma açtı. "İşte bu yalan," diyebileceği bir yalan uydurana bir küp altın vadetti. Yalancılar akın akın saraya gelip yalanlarını söylediler, fakat yalanlar ne kadar akıl almaz olursa olsun kral hep, "olabilir, niye olmasın ..." gibi cevaplar veriyordu. Böylece hem eğleniyor, hem de bir küp altından olmuyordu.

Derken kahramanımız elinde boş bir küple huzura çıktı ve konuştu:

"-Rahmetli dedeniz bir savaşa çıkacaktı, ancak o günlerde hazinede yeterli para yoktu. Dedeniz dedemden bu küple bir küp altın borç aldı ve 'bu borcumu torunum torununa ödeyecek,' diye söz verdi. Şimdi, dedenizin borcunu bana ödemeniz için buraya geldim."

Kral, "işte bu kuyruklu bir yalan!" deyince adam, "o halde ödülümü alayım," dedi.
Kral, "ımm şeyy doğru da olabilir" deyince adam, "o halde borcunuzu ödeyin" dedi

II. Murat'ın Paradoksu

II. Murat'ın dilemması

Sultan II. Murat 1444 yılı Ağustos'unda tahtı 12 yaşlarındaki oğlu II. Mehmet'e (daha sonra Fatih Sultan Mehmet olacak) bıraktı. Tahta bir çocuğun geçtiğini öğrenen İtalyan, Alman, Lehistan (şimdiki Polonya), Macaristan, Sırp ve Ulahlardan müteşekkil yeni bir Haçlı Ordusu Eylül'de savaş ilan edip Varna'ya kadar geldi. Bunun üzerine II. Mehmet Manisa'ya çekilen babası II. Murat'a bir mektup gönderdi:

"Padişah biz isek, size emrediyoruz, gelip ordunun başına geçiniz; yok siz iseniz gelip devletinizi müdafaa ediniz."
Sultan Murat derhal Edirne'ye gelerek tahta yeniden oturdu ve 10 Kasım 1444'te Varna'da Haçlılarla yapılan savaşta ordunun başında bulundu. Haçlılar bozguna uğradı.

Epimenides paradoksu

MÖ 6 yüzyılda Epimenides şöyle dedi: "Bütün Giritliler yalancıdır, bunu bana Giritli bir şair söyledi."

Şairin doğru söylediğini kabul edelim. Bu cümle kendisi dahil bütün Giritlilerin yalancı olduğunu ifade ediyor. Öyleyse şair yalancıdır. Çelişki.

Şairin yalancı olduğunu kabul edelim. Bu durumda şunu demiş olur: "Bazı Giritliler (en az bir Giritli) yalancı değildir. Yalancı olmayan en az bir Giritli varsa paradoks yok: Şair yalancıdır.

Bütün kümelerin kümesi paradoksu

Profesör, "bir kelime anlamıyla uyumlu ise ona otolojik, değilse hetereolojik denir," dedi ve şu örneği verdi: "Dört harfli kelimeleri kısa kabul edersek, kısa kelimesinin kendisi de kısa olduğundan bu kelime otolojiktir, uzun kelimesinin kendisi uzun olmadığından bu kelime heterolojiktir. Aynı şekilde üç üç harfli olmadığından heterolojiktir, dört dört harfli olduğundan otolojiktir."

Bir öğrenci söz istedi: "Hocam, heterolojik kelimesinin kendisi heterolojik midir, yoksa otolojik mi?"

Bu, tabii ki, bir paradoks; heterolojik kelimesi otolojikse heterolojik, heterolojikse otolojiktir.

Alaaddin'in cini paradoksu

(Robert Louis Stevenson'un Şişedeki Cin)

Biri sihirli lambayı sizin istediğiniz fiyata size satmak istiyor, ancak bir uyarısı var: Cin sizin bir arzunuzu yerine getirdikten sonra lambayı satın aldığınızdan daha az bir fiyata satacaksınız. Aksi halde cin size eşi görülmemiş işkenceler yapacak. Onu atamaz veya bedava veremezsiniz. Lambayı kaça alırdınız?

Açıkça görülüyor ki, onu 5 bin liraya (yani, tedavüldeki en küçük paraya) almazsınız, çünkü bundan daha azı olmadığından başkasına satamazsınız.

10 bin liraya da almazsınız, çünkü sizden sonrakine 5 bin liraya satmak zorunda kalırsınız ve o da başka birine satamayacağından almak istemez.

15 bin liraya alırsanız 10 bine birine satabilirsiniz, o da 5 bine bir başkasına satabilir. Sonuncu kişi gene kimseye satamayacağından almak istemeyecek ve lambanın elinde kalacağını düşünen sizin satmak istediğiniz kişi de onu almayacaktır.

Genel olarak Türkiye nüfusu 80 milyon olsa siz lambayı 80 milyon X 5 bin liraya da almak istemeyeceksiniz.

Ancak bu satıra gelene kadar mutlaka aklınızda bir fiyat geldi; örneğin bu lambayı 1 milyona alırım, sonra 900 bine birine okuturum demiş olabilirsiniz. Sıra sonuncu kişiye gelene kadar kim öle kim kala.

Aristotales'in tekerlek paradoksu

Yunanca Mechanica adlı, Aristo'ya ait olduğu şüpheli bir kitapta şu paradokstan söz edilir:

Şekildeki farklı yarıçaplı eşmerkezli daireleri göz önüne alın (tekerlek ve jant gibi). Büyük dairenin üzerindeki her nokta ile küçük dairenin üzerindeki her nokta arasında bire bir tekabül bulunur. O halde büyük daire ne kadar yol aldıysa küçük daire de aynı miktarda yol almalıdır. Şekildeki yatay iki çizgi bir tam tur sonra alınan yolu göstermektedir. Büyük dairenin yarıçapı r1, küçük dairenin yarıçapı r2 ise büyük dairenin çevresi 2.p.r1, küçük dairenin çevresi 2.p.r2 olur. Çizgilerin boyları eşit olduğuna göre dairelerin çevreleri eşit ve dolayısıyla r1 = r2 olmalıdır.

Matematiksel olarak buradaki hata, iki çizgi üzerindeki noktaların bire bir tekabülünün iki eğrinin de eşit uzunlukta olmasını gerektirdiğini kabul etmekte yatıyor. Aslında herhangi bir uzunluktaki bir doğru parçasındaki noktaların hepsinin kardinaliteleri aynıdır (À1). İster sonsuz uzunlukta bir doğru, ister bir düzlem, ister 3 boyutlu bir uzay, isterse sonsuz boyutlu bir Öklid uzayı olsun yine fark etmez. Bunlardan herhangi birindeki noktalar diğerindeki noktalara bire bir tekabül eder; ancak bu, iki çizginin boylarının eşit olması demek değildir.

Fiziksel olarak, tren tekerleklerine benzeyen ve her iki dairesi de rayın üzerinde dönebilecek biçimde düzenlenen bir tekerlek iki sonuçtan birini verir:

tekerlek kesinlikle döndürülemez, veya
dairelerden biri aynı yolun bir kısmında kayar.


 Otel paradoksu

Sonsuz odalı bir otelin bütün odaları doludur. Bu otele 6 kişi daha gelirse bunlar nasıl yerleştirilebilir?

n. odadaki müşteri n+6 numaralı odaya nakledilerek ilk 6 oda boşaltılır. (Peki yeni gelen müşteri sayısı sonsuz olsaydı?)

Matematiksel olarak burada bir sorun yok, çünkü sonsuzun matematiksel tanımına göre yeni gelenler yukarda verilen yöntemle yerleştirilebilir. (Sonsuz sayıdaki müşteri için de aynı yöntem geçerlidir.)

Fiziksel olarak ta sorun yok, çünkü sonsuz odalı otel bulur ve bütün odalarını doldurabilirseniz, yeni gelen 6 kişiyi yerleştirmeyi üstlenebilirim.

Zeno'nun 1. paradoksu (dichotomy):

Bir nesnenin d yolunu alabilmesi için önce o yolun d/2 sini gitmesi gerekir. Ancak d/2 sini gitmeden önce d/4 ünü gitmesi gerekir. d/4 ünü gitmeden önce d/8 ini gitmesi gerekir vs. Bu dizi sonsuza kadar uzatılabilir. Öyleyse bir yolun tamamını gitmek sonsuz sayıda hamle ile mümkündür. O halde d uzunluğunda bir yol gidilemez.

Bu paradoksun fiziksel çözümü quantum fiziğinin belirsizlik ilkesini beklemek zorunda kalmıştır. Bir uzunluktan sonra, yarı yollardaki belirsizlik ihmal edilemeyecek kadar büyük olacaktır. Yarı yolun fiziksel bir anlamı olmayacaktır.

Matematiksel çözümü cebiri ve  gibi sonsuz geometrik serilerin yakınsadığının kanıtlanmasını beklemiştir. Gittikçe kısalan yarı yolları almak için geçen zaman da git gide kısalmaktadır ve bunlar birbirini telafi eder.

Zeno'nun 2. paradoksu (Achilles ve kaplumbağa paradoksu):

Kaplumbağa yarışa d1 kadar önden başlamış olsun. Aşil'in ona yetişebilmesi için önce d1 yolunu almış olması gerekir, ancak bu sırada kaplumbağa d2 kadar ilerlemiş olur. Aşil önce bu d2 yolunu almalıdır, ancak kaplumbağa d3 kadar uzaklaşmış olacaktır. Bu böylece devam ederse Aşil'in kaplumbağaya asla yetişemeyeceği anlaşılır. Ancak Aşil kaplumbağaya yetişir ve onu geçer. Bu bir paradoks.

Bu paradoksun çözümü de yukarıdaki gibidir.

Zeno'nun 3. paradoksu (ok paradoksu):

Uçuş halindeki bir ok herhangi bir anda anlık olarak durgun bir konumdadır. Ancak tam o anda aynı konumdaki hareketsiz sabit bir oktan ayırt edilemez, öyleyse okun hareketi nasıl algılanıyor?

Zeno'nun 4. paradoksu (Stade paradoksu):

Bu paradox zaman ve mekanın belli bir miktar bölünebileceği kabulünden doğar. (Tam metnini bulamadım, bilen var mı?)

Yamyam Paradoksu

Bir adada yaşayan bir grup yamyamın eline bir mantıkçı düşer. Yamyamlar mantıkçıya şöyle derler: "Biz her yakaladığımız yabancıyı yeriz. Kimini haşlayıp, kimini kızartıp yeriz. Avımıza bir soru sorarız. Avımız soruyu doğru yanıtlarsa haşlarız, yanlış yanıtlarsa kızartırız."
Dedikleri gibi de yaparlar. Mantıkçıya şu soruyu sorarlar: "Seni haşlayıp da mı yiyeceğiz, yoksa kızartıp da mı yiyeceğiz?" Mantıkçı bir süre düşündükten sonra soruyu çok akıllıca cevaplar: "Kızartacaksınız!" İşte yamyamları çaresiz bırakan paradoks ortaya çıkmıştır, ve bu yanıtı sayesinde mantıkçı ne kızartılır ne de haşlanır.
Bir an için mantıkçının kızartılacağını varsayalım. O zaman verdiği yanıt doğru olur. Ama yanıt doğru olduğu için -yamyamların kendi kurallarına göre- mantıkçının haşlanması gerekmektedir. Demek mantıkçı kızartılamaz. Şimdi de mantıkçının haşlanacağını varsayalım. O zaman mantıkçının yanıtı yanlış olacak. Yanıt yanlış olduğundan da kızartılması gerekmektedir. Demek mantıkçı haşlanamaz da. Yamyamlar tam bir kısırdöngüye girmişlerdir. Kızartsalar haşlamaları gerekecek, haşlasalar kızartmaları! Sonuç olarak adamımız kurtulur.

Sürpriz sınav paradoksu

Öğretmen Cuma günü şöyle diyor: "Gelecek hafta hiç ummadığınız bir gün sizi yazılı yapacağım."

Sınavın haftaya Cuma günü yapılamayacağı açık, çünkü Cumaya kadar sınav yapılmamışsa o gün herkes okula sınav olacağını bilerek gelecektir. Aynı nedenle Perşembe de yapılamaz, çünkü Cuma günü yapılacak sınav sürpriz olmayacağından Perşembe'ye kadar sınav olmamışsa öğrenciler sınavın o gün yapılacağına kesin gözüyle bakacaklardır. Bu da Perşembe günü yapılacak sınavın sürpriz olmaması demektir.

O halde sınav Perşembe'den önce yapılmalıdır. Ancak sınav Salı günü de yapılmamışsa Perşembe günü de yapılamayacağından Çarşamba günü yapılmalıdır. Bu da Çarşamba günü yapılacak sınavı sürpriz olmaktan çıkarır.

Aynı şekilde mantık yürütürsek, Salı ve dolayısıyla Pazartesi günü yapılacak sınavın da sürpriz olamayacağı sonucuna varırız. Öyleyse öğretmen gelecek hafta sınav yapmayacaktır.

Fakat biraz düşünürsek, öğretmenin gelecek hafta yerine gelecek yıl demiş olması durumunda da aynı akıl yürütmeyle sürpriz bir sınavın yapılamayacağı sonucuna varırdık. Ama bu saçmalık; çünkü hepimizin bildiği gibi, her dönem 3 sınav olacağını bildiğimiz halde öğretmenin "çıkarın kağıtları, yazılısınız," demesi her zaman sürprizdir.

Bu paradoks 50 yılı aşkın bir zamandan beri felsefecileri, matematikçileri ve mantıkçıları uğraştırmaktadır. Halen tatminkar bir çözüm bulunamamıştır.


Socrates'in paradoksu

"Bilidiğim tek şey hiç bir şey bilmediğimdir."

Thompson'un lamba paradoksu

Bir lamba 1/2 dakika yanık, 1/4 dk sönük, 1/8 dk yanık ... olacak şekilde lambanın düğmesi açılıp kapatılıyor. 1 dakikanın sonunda düğmeye kaç kez basılmış olur? Bu sırada lamba yanık mı olur sönük mü?

Arrow'un paradoksu

Tamamen demokratik bir oylama sadece pratikte değil teoride de mümkün değildir.

Para paradoksu

Aynı paradan ikisini yan yana koyup birini sabit tutarak diğerini onun etrafında döndürün. Döndürülen para yarım tur attığında kendi ekseni etrafında bir tam tur atmış olacaktır.

Kutu kutu top

a. Bir kutuya her defasında 10 top konup 10. top geri alınıyor. Bu işe sonsuz kere devam ettiğimizde kutuda kaç top kalır?

b. Bir kutuya her defasında 10 top konup sırayla 1. toptan itibaren birer top geri alınacaktır. Bu işe sonsuz kere devam ettiğimizde kutuda kaç top kalır?

Simpson'un paradoksu

Farklı grupların ortalamalarının ortalaması grupların birleşik haldeki ortalamasına eşit olmak zorunda değildir.


Cümle Paradoksu
Epimenides paradoksuna benzer bir paradoks da şudur: "Bu cümle yanlıştır."
Yine, cümle yanlışsa doğru, doğruysa da yanlış olmak zorunda.

 

Russel'ın Küme Paradoksu
Bir A kümesi yaratmaya çalışıyoruz. Bu kümenin özelliği, yalnızca kendini içermeyen kümeleri içeriyor olması. Örneğin evrensel küme, varolan tüm kümeleri içeren bir kümedir. Varolan tüm kümeleri içerdiğine, ve kendisi de bir küme olduğuna göre, evrensel küme, evrensel kümenin bir elemanıdır, yani kendi kendini içerir. Ya da "Üçten fazla elemanı olan kümeler kümesi", kendisi de üçten fazla elemana sahip olduğu için kendini içerir. Ama örneğin Doğal Sayılar Kümesi N, bir doğal sayı olmadığı için kendini içermez. İşte bizim A kümesinin içereceği kümeler böyle kümeler, yani kendi kendinin elemanı olmayanlar. Şimdi şu soruya cevap arıyoruz: A kümesi kendisini içerir mi?
Eğer "içerir" dersek, A kümesinin A kümesinde işi ne? Çünkü A kümesi sadece kendini içermeyen kümelerin kümesi. Eğer "içermez" diyorsak, A kümesi kendini içermeyen bir küme olur, o zaman A kümesini de A kümesine dahil etmeliyiz, ama o zaman da A, kendini içeren bir küme olur. Yine her zamanki kısırdöngüye yakalandık...
 

Zenon'un Akhilleus Paradoksu
İ.Ö. 5. yüzyılda yaşamış Yunanlı düşünür Zenon'un şu hikayesi meşhurdur: Bir gün, Antik Yunan'ın meşhur savaşçısı Akhilleus, bir kaplumbağayla koşu yarışı yapmaya karar vermiş. Akhilleus, kaplumbağadan tam 10 kat daha hızlı olduğu için kaplumbağanın yarışa 100 m önden başlamasına izin vermiş. Yarış başladıktan birkaç saniye sonra, Akhilleus aradaki 100 m'yi hemen aşmış, ama bu arada onunkinin onda biri hızla hareket eden kaplumbağa, 10 m ilerlemiş. Yani aralarındaki mesafe, artık 10 m'ymiş. Akhilleus, bu 10 m'yi de geçerken, kaplumbağa da 1 m ilerlemiş, yani artık aralarında 1 m varmış. Akhilleus, bu 1 m'yi geçerken, kaplumbağa 1/10 m, yani 10 cm ilerlemiş. Akhilleus bu 10 cm'yi geçerken de kaplumbağa 1 cm ilerlemiş. Akhilleus bu 1 cm'yi de geçince, aralarındaki uzaklık 1 mm'ye düşmüş, vs. vs. Yani fark sürekli onda birine düşüyor, ama asla kapanamıyormuş!!?? Yani kaplumbağadan 10 kat hızlı olan Akhilleus, kaplumbağayı hiç geçememiş!!?? alıntı